Преобразование некоторых систем координат
Преобразование геодезических (эллипсоидальных) координат B, L, H в прямоугольные (пространственные) координаты X, Y, Z.
(1)
где B и L – соответственно геодезические широта и долгота пункта, H – высота пункта над принятым референц-эллипсоидом;
N – радиус кривизны первого вертикала:
(2)
e – эксцентриситет меридианного эллипса:
(3)
a и b – большая и малая полуоси эллипсоида.
Преобразование прямоугольных (пространственных) координат X, Y, Z в геодезические (эллипсоидальные) координаты B, L, H.
Для обратного перехода от пространственных координат X, Y, Z к геодезическим B, L, H выполняются итерации при вычислении широты B и высоты H с использованием следующего алгоритма.
1) Вычисляется вспомогательная величина D по формуле:
. (4)
2) Анализируют значение D:
если D = 0, то
, 
, 
(5)
если D > 0, то
; (6)
при этом
если
, то 
если
, то 
если
, то 
если
, то 
3) Анализируют значение Z:
если Z = 0, то
Во всех других случаях используется следующая схема вычислений:
1) Находят вспомогательные величины r, c, p по формулам:
, (7)
, (8)
. (9)
2) реализуют итеративный процесс:
,
, (10)
;
если модуль разности 
меньше заданного ε, то
,
. (11)
В противном случае приравнивают s1 = s2 и вычисления повторяют, начиная с вычисления b. Значение ε во все случаях принимается равным 0,0001², что обеспечивает погрешность вычисления H не более 0,003 м.
Преобразование геодезических координат B и L в плоские прямоугольные координаты x и y
Плоские прямоугольные координаты x и y с погрешностью не более 0,001 м в принятой на территории Узбекистана проекции Гаусса-Крюгера по геодезическим координатам на эллипсоиде Красовского вычисляются по формулам:
(12)
(13)
В формуле (12) значение B выражают в радианной мере.
В формуле (13) n – номер шестиградусной зоны в проекции Гаусса-Крюгера. Величина l вычисляется в радианной мере по формуле
(14)
Преобразование пространственных прямоугольных координат из системы А в систему Б
Пространственные прямоугольные координаты двух систем (А и Б), у которых отличаются начало координат, ориентирование осей и линейный масштаб, связаны следующими соотношениями:
(15)
Обратное перевычисление, из системы Б в систему А, выполняется по формулам:
(16)
где m – масштабный коэффициент при переходе от системы А к системе Б;
wX , wY , wZ – угловые элементы трансформирования, углы вращения осей системы А, обеспечивающие их параллельность осям системы Б;
DX, DY, DZ – линейные элементы трансформирования, смещение начала системы координат А относительно системы Б.
Приведенные выше формулы называются формулами Гельмерта, а собственно преобразование – преобразованием Гельмерта по 7-ми параметрам.
Преобразование высот
Различие систем высот, применяемых в геодезии, связано с отсчетной поверхностью (эллипсоид, квазигеоид, геоид). Высоты отсчитываются от точки на земной поверхности до выбранной поверхности по отвесной линии (нормали) к ней.
Геодезическая (эллипсоидальная) высота – расстояние от точки на земной поверхности до поверхности референц-эллипсоида.
Нормальная высота – расстояние от точки на земной поверхности до поверхности квазигеоида.
Ортометрическая высота – расстояние от точки на земной поверхности до поверхности геоида.
Геодезическая высота H и нормальная высота Hg связаны соотношением:
(17)
где z – высота квазигеоида (геоида) над отсчетным эллипсоидом.
Высоты квазигеоида (геоида) над отсчетным эллипсоидом вычисляются по моделям гравитационного поля Земли, входящими в состав параметров общеземных систем координат.
Для вычисления нормальных высот, обычно используемых в практике геодезических работ, необходимо иметь карты высот квазигеоида или гравиметрические определения, точность которых определяет точность перевычисления.